Le dimensionnement des positions et la formule de Kelly

Qu'est-ce que le dimensionnement des positions ?

Le dimensionnement des positions n'est pas de savoir quel titre acheter, mais de déterminer le pourcentage de l'actif total à allouer à ce titre. Même en achetant le même titre au même prix, le rendement final et l'état psychologique d'une personne ayant investi 5 % de son patrimoine total seront complètement différents de ceux d'une personne ayant investi 50 %. Si la sélection des titres est le 'quoi', le dimensionnement des positions est le 'combien', et la performance à long terme est fortement influencée par ce dernier.

L'essentiel est de contrôler à l'avance le montant que l'on peut perdre sur un seul pari. Même une idée très convaincante peut s'avérer fausse, il est donc crucial de fixer une limite supérieure au poids d'une position afin qu'une perte sur un titre ne ruine pas l'ensemble du compte à un niveau irrécupérable. C'est le point de départ du dimensionnement. Cet article est à des fins éducatives et ne recommande aucun titre ou pourcentage d'allocation spécifique.

Le principe de la formule de Kelly

La formule de Kelly calcule le ratio de mise qui maximise le taux de croissance à long terme du capital dans une série de paris répétés. Sa forme de base est f = p - q/b. Où p est la probabilité de gagner, q est la probabilité de perdre (1-p), et b est le ratio gain/perte (le multiple du montant gagné par rapport au montant perdu) en cas de victoire. f représente la proportion du capital à allouer à ce pari.

Par exemple, supposons une probabilité de gain p de 0.6, une probabilité de perte q de 0.4, et un ratio gain/perte b de 1 (on gagne 1 pour chaque 1 misé). Alors f = 0.6 - 0.4/1 = 0.2, ce qui signifie qu'allouer 20 % du capital maximise le taux de croissance à long terme. Si le ratio gain/perte b s'améliore à 2, alors f = 0.6 - 0.4/2 = 0.4, justifiant une proportion plus importante même avec le même taux de réussite.

Si la formule renvoie une valeur négative, cela signifie que l'espérance mathématique est négative, signalant qu'il ne faut pas parier. En d'autres termes, Kelly est un outil qui indique non seulement 'combien parier', mais aussi 'quand ne pas parier'.

Comment interpréter les résultats ?

Le f suggéré par Kelly est proche de la limite théorique. Parier selon cette valeur maximise le taux de croissance à long terme, mais cela implique d'accepter une volatilité importante, avec des fluctuations du compte pouvant atteindre près de la moitié de sa valeur. C'est pourquoi, en pratique, le 'Half-Kelly' (moitié de la valeur calculée) ou le 'Quarter-Kelly' (un quart de la valeur calculée) sont largement utilisés.

Le Half-Kelly est préféré car il maintient environ 75 % du taux de croissance du Full-Kelly tout en réduisant la volatilité de moitié, offrant ainsi une meilleure efficacité risque/rendement. Dans l'exemple précédent, si le Full-Kelly était de 20 %, le Half-Kelly serait de 10 %. Cette application conservatrice sert également de filet de sécurité en absorbant les erreurs d'estimation des valeurs d'entrée (probabilité de gain et ratio gain/perte).

Application à l'investissement boursier

Contrairement au lancer de pièce, il est impossible de connaître avec précision la probabilité de gain p et le ratio gain/perte b en bourse. On les estime donc en se basant sur ses propres historiques de transactions, en calculant le pourcentage de transactions gagnantes et le ratio gain moyen/perte moyenne. Par exemple, si un stop-loss est fixé à -10 % et un objectif de profit à +20 %, le ratio gain/perte b est de 2. Si le taux de réussite historique est de 50 %, alors f = 0.5 - 0.5/2 = 0.25.

Cependant, le taux de réussite estimé est d'autant plus imprécis que l'échantillon est petit, il est donc plus sûr d'utiliser une proportion beaucoup plus conservatrice en pratique. De nombreux investisseurs particuliers fixent une limite supérieure de 5 à 10 % de leurs actifs par titre. Cela permet, même si un titre perd la moitié de sa valeur, de limiter la perte totale à 2.5-5 %, restant ainsi dans une fourchette récupérable. Le dimensionnement devient plus robuste si l'on combine la formule de Kelly avec une approche de calcul inversé : d'abord fixer le prix du stop-loss, puis 'limiter le montant perdu sur une transaction à 1-2 % du compte'.

Pièges et limites

Le plus grand risque de Kelly est la surestimation des valeurs d'entrée. Si l'on croit que son taux de réussite est de 60 % alors qu'il est en réalité de 50 %, la formule gonflera la proportion appropriée, conduisant à un sur-investissement. Dans un marché très volatil, le sur-investissement ne fonctionne pas comme la magie des intérêts composés, mais comme leur malédiction.

De plus, Kelly repose sur l'hypothèse que les paris sont indépendants les uns des autres et se répètent à l'infini. Cependant, détenir plusieurs titres simultanément expose à des chocs sectoriels ou macroéconomiques communs, créant des corrélations. Une simple addition des pondérations individuelles sous-estimerait alors le risque réel. Que ce soit en Corée ou aux États-Unis, lorsque l'ensemble du marché chute brutalement, le coefficient de corrélation entre les titres tend vers 1.

En outre, Kelly ne traite que les espérances mathématiques et ne prend pas en compte les circonstances personnelles telles que les dépenses de subsistance ou les limites psychologiques. Même si les mathématiques indiquent 20 %, pour une personne qui ne peut pas supporter la volatilité et vend au plus bas, 10 % est une meilleure réponse.

Points clés à retenir

En résumé, le dimensionnement des positions part du principe que c'est le 'combien investir' qui détermine la performance. La formule de Kelly, f = p - q/b, fournit un ratio de mise théorique basé sur la probabilité de gain et le ratio gain/perte, mais en raison des erreurs d'estimation des entrées et de la volatilité, une application conservatrice comme le Half-Kelly est plus réaliste.

En pratique, examinez conjointement trois éléments : la limite supérieure de pondération par titre, la limite de perte par transaction et la corrélation entre les titres. Tous les chiffres de cet article sont des exemples hypothétiques destinés à expliquer les principes. Les décisions d'investissement réelles et les pondérations doivent être déterminées par chacun en fonction de son propre niveau de tolérance au risque et de sa situation financière.