Positions-Sizing und die Kelly-Formel

Was ist Positions-Sizing?

Positions-Sizing ist nicht die Entscheidung, welche Aktie man kauft, sondern wie viel Prozent des Gesamtvermögens man dieser Aktie zuweist. Selbst wenn man dieselbe Aktie zum selben Preis kauft, unterscheiden sich die endgültige Rendite und der psychische Zustand einer Person, die 5 % ihres Gesamtvermögens investiert hat, erheblich von denen einer Person, die 50 % investiert hat. Wenn die Aktienauswahl die Frage 'Was?' beantwortet, dann beantwortet Positions-Sizing die Frage 'Wie viel?', und die langfristige Performance wird maßgeblich von Letzterem beeinflusst.

Der Kern liegt darin, den Betrag, den man bei einer einzelnen Wette verlieren kann, im Voraus zu kontrollieren. Da selbst eine Idee mit hoher Überzeugung falsch sein kann, ist es der Ausgangspunkt des Sizings, eine Obergrenze für die Positionsgröße festzulegen, damit der Verlust einer einzelnen Aktie das gesamte Konto nicht auf ein irreparables Niveau stürzt. Dieser Artikel dient der Aufklärung und empfiehlt keine spezifischen Aktien oder Positionsgrößen.

Das Prinzip der Kelly-Formel

Die Kelly-Formel berechnet den optimalen Einsatzanteil, der die langfristige Wachstumsrate des Vermögens bei wiederholten Wetten maximiert. Die Grundformel lautet f = p - q/b. Dabei ist p die Gewinnwahrscheinlichkeit, q die Verlustwahrscheinlichkeit (1-p) und b das Chance-Risiko-Verhältnis (der Multiplikator des gewonnenen Betrags im Verhältnis zum verlorenen Betrag). f steht für den Anteil des Vermögens, der bei dieser Wette eingesetzt werden soll.

Nehmen wir zum Beispiel an, die Gewinnwahrscheinlichkeit p beträgt 0,6, die Verlustwahrscheinlichkeit q beträgt 0,4, und das Chance-Risiko-Verhältnis b ist 1 (man gewinnt $1 für jeden eingesetzten $1). Dann ist f = 0,6 - 0,4/1 = 0,2, was bedeutet, dass das Setzen von 20 % des Vermögens die langfristige Wachstumsrate maximiert. Wenn sich das Chance-Risiko-Verhältnis b auf 2 verbessert, wird f = 0,6 - 0,4/2 = 0,4, wodurch ein größerer Anteil bei gleicher Gewinnwahrscheinlichkeit gerechtfertigt ist.

Wenn die Formel einen negativen Wert ergibt, bedeutet dies, dass der Erwartungswert negativ ist, und ist somit ein Signal, nicht zu wetten. Die Kelly-Formel ist also ein Werkzeug, das nicht nur sagt, 'wie viel man setzen soll', sondern auch 'wann man nicht setzen sollte'.

Wie sind die Ergebnisse zu interpretieren?

Der von Kelly vorgeschlagene Wert f liegt nahe an der theoretischen Obergrenze. Wenn man gemäß diesem Wert wettet, wird die langfristige Wachstumsrate maximiert, aber man muss dabei eine hohe Volatilität in Kauf nehmen, bei der das Konto um fast die Hälfte schwanken kann. Daher werden in der Praxis häufig 'Half-Kelly' oder 'Quarter-Kelly' verwendet, bei denen nur die Hälfte oder ein Viertel des berechneten Wertes eingesetzt wird.

Half-Kelly wird bevorzugt, da es die Wachstumsrate auf etwa 75 % des Full-Kelly-Wertes hält, während die Volatilität halbiert wird, was eine bessere Risiko-Rendite-Effizienz bedeutet. Wenn im vorherigen Beispiel Full-Kelly 20 % betrug, wäre Half-Kelly 10 %. Diese konservative Anwendung dient auch als Sicherheitspuffer, der Schätzfehler der Eingabewerte (Gewinnwahrscheinlichkeit und Chance-Risiko-Verhältnis) absorbiert.

Anwendung auf Aktieninvestitionen

Im Gegensatz zum Münzwurf können bei Aktieninvestitionen die Gewinnwahrscheinlichkeit p und das Chance-Risiko-Verhältnis b nicht genau bestimmt werden. Daher nähert man sich diesen Werten an, indem man den Anteil der erfolgreichen Trades und das Verhältnis von durchschnittlichem Gewinn zu durchschnittlichem Verlust aus den eigenen vergangenen Handelsaufzeichnungen schätzt und einsetzt. Wenn man beispielsweise einen Stop-Loss bei -10 % und ein Kursziel bei +20 % festlegt, beträgt das Chance-Risiko-Verhältnis b 2. Beträgt die historische Trefferquote 50 %, ergibt sich f = 0,5 - 0,5/2 = 0,25.

Da die geschätzte Gewinnwahrscheinlichkeit umso ungenauer ist, je kleiner die Stichprobe ist, ist es in der Praxis sicherer, eine wesentlich konservativere Positionsgröße zu verwenden. Viele Privatanleger setzen eine Obergrenze von 5-10 % des Vermögens pro Aktie, da selbst wenn eine Aktie um die Hälfte fällt, der Gesamtverlust nur 2,5-5 % beträgt und somit im wiederherstellbaren Bereich bleibt. Wenn man zuerst den Stop-Loss-Preis festlegt und dann die Kelly-Formel zusammen mit einer Rückwärtsberechnung verwendet, die den 'Verlust pro Trade auf 1-2 % des Kontos begrenzt', wird das Sizing noch robuster.

Fallstricke und Grenzen

Das größte Risiko der Kelly-Formel ist die Überschätzung der Eingabewerte. Wenn man seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 60 % schätzt, diese aber tatsächlich nur 50 % beträgt, bläht die Formel die angemessene Positionsgröße auf und führt zu Overbetting. In volatilen Märkten wirkt Overbetting nicht als Zinseszinseffekt, sondern als Zinseszinsfluch.

Darüber hinaus basiert Kelly auf der Annahme, dass die Wetten voneinander unabhängig sind und unendlich oft wiederholt werden. Wenn man jedoch mehrere Aktien gleichzeitig hält, sind diese denselben Branchen- oder makroökonomischen Schocks ausgesetzt, wodurch Korrelationen entstehen. Eine einfache Addition der einzelnen Positionsgrößen unterschätzt dann das tatsächliche Risiko. Ob in Korea oder den USA, wenn der Gesamtmarkt stark fällt, nähert sich der Korrelationskoeffizient zwischen den Aktien 1 an.

Die Kelly-Formel berücksichtigt auch nur den arithmetischen Erwartungswert und keine persönlichen Umstände wie Lebenshaltungskosten oder psychologische Grenzen. Selbst wenn die Mathematik 20 % anzeigt, ist für jemanden, der die Volatilität nicht ertragen kann und am Tiefpunkt verkauft, 10 % die bessere Antwort.

Wichtige Punkte

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Positions-Sizing von der Erkenntnis ausgeht, dass 'wie viel man investiert' die Performance bestimmt. Die Kelly-Formel f = p - q/b gibt das theoretische Einsatzverhältnis basierend auf Gewinnwahrscheinlichkeit und Chance-Risiko-Verhältnis an, aber aufgrund von Eingabefehlern und Volatilität ist eine konservative Anwendung wie Half-Kelly realistischer.

In der Praxis sollten Sie drei Dinge gleichzeitig überprüfen: die Obergrenze der Positionsgröße pro Aktie, die Verlustgrenze pro Trade und die Korrelation zwischen den Aktien. Alle Zahlen in diesem Artikel sind fiktive Beispiele zur Erläuterung der Prinzipien, und tatsächliche Anlageentscheidungen und Positionsgrößen müssen Sie selbst entsprechend Ihrer Risikobereitschaft und finanziellen Situation treffen.